Egy labdarúgó tornán összesen 66 mérkőzést játszottak, egy kosárlabda tornán összesen 132 mérkőzést játszottak, és még sorolhatnánk tovább a példákat… Nagyon sok hasonló jellegű, kombinatorikával kapcsolatos példa kezdődik így a tankönyvekben, az interneten fellelhető feladatokban. Az esetek többségében csak a példák “körítése” más, a megoldást hasonló módszerrel kaphatjuk meg. Általában arra kérdeznek rá a feladatokban, hogy hány csapat indult a tornán, ha tudjuk a mérkőzések számát, milyen sorrendben végezhettek a csapatok, ha nem volt holtverseny, vagy ha holtversenyben végzett az első helyen két csapat, stb. Ezek a feladatok tökéletesen megfelelnek arra, hogy a kombinatorika alapjait megértsük, begyakoroljuk és egy hétköznapi, valós példán keresztül tanuljuk meg az alkalmazandó szabályokat, képleteket.
Álljon itt példaként a következő feladat:
Egy labdarúgó tornán összesen 182 mérkőzést játszottak rövid, 10 perces meccseken. Hány csapat vett részt a tornán, ha mindenki mindenkivel kétszer játszott?
Első ránézésre azt gondolhatjuk, nem sok információt kaptunk a feladat megoldásához, de érdemes végig gondolni, mi az, amit tudunk:
- Mivel nem tudjuk, hány csapat játszott, jelöljük n-nel a csapatok számát!
- Ha mindenki kétszer játszott egymással, feltételezhetjük, hogy két körben zajlottak a mérkőzések.
- Mivel mindenki mindenkivel játszott, ezért azt is tudjuk, hogy egy adott csapat
)
csapattal játszott egy körben (saját magán kívül mindenki mással játszott, tehát az összes (n) csapatból kivonunk egyet).
- N db csapat van, ezért összesen
)
mérkőzést játszottak le egy körben (minden csapat (n-1) mérkőzést játszott). Ezt a számot azonban le kell osztanunk kettővel, mivel ebben a számításban az is megjelenik ugyanúgy, ha A csapat játszik B csapattal, de az is, ha B csapat játszik A csapattal, ez a kettő pedig ugyanaz a mérkőzés. Tehát egy körben %7D%7B2%7D)
db mérkőzést játszanak le.
- Mivel két körben zajlottak a megmérettetések, ezért összesen a meccsek száma:
%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7Bn(n-1)%7D%7B2%7D%3Dn(n-1))
Folytatás
A gonosz varázsló bezárta egy barlangba és elaltatta a hercegnőt és negyven udvarhölgyét. A bűvös álomból csak az ébred fel, akit a varázsló felkelt. A barlangban nincs más, csak egy kétállású kapcsoló, ami kezdetben le van kapcsolva. Néha valamelyiküket felébreszti a varázsló és akkor az illető megnézheti a kapcsoló állását és ha akar, változtathat rajta. Tudjuk, hogy a varázsló mindegyikőjüket mindennap felébreszti legalább egyszer, de ők nem tudják mérni az idő múlását. A varázsló csak akkor engedi őket szabadon, ha a hercegnő egyszer ki tudja jelenteni, hogy már mindenki legalább egyszer fel volt ébresztve, de ha téved, akkor halálok halálával lakolnak mind. Milyen stratégiát beszéljenek meg elaltatásuk előtt az udvarhölgyek és a hercegnő, hogy biztosan megmeneküljenek az örökös alvásból?
