Mekkora valószínűséggel érünk el egy szelvénnyel az ötös lottón nyereményt?

Rengeteg lottóval kapcsolatos valószínűségszámításos példa kering az interneten (és a tankönyvekben is előszeretettel használják példának a lottózást), így bizonyára már sokan találkoztatok az alábbi feladattal: vajon mekkora valószínűséggel érünk el egy szelvénnyel az ötös lottón nyereményt, ha tudjuk, hogy legalább két találatot kell elérnünk ahhoz, hogy kifizetés történjen?

lotto-484801_960_720

A feladat megoldásához használjuk a valószínűségszámítással kapcsolatban tanultakat!

Mikor fizetnek nekünk? Ha eltalálunk két, három, négy vagy öt számot. Ha nulla vagy egy számot találunk el, akkor nem fizetnek semmit.

Kétféleképpen is kiszámíthatjuk nyerési esélyünket, azonban amit mindenképpen ismernünk kell a helyes megoldáshoz az az, hogy a valószínűséget a következők szerint tudjuk megadni:

$P(A)=\frac{k}{n}$
Ahol A az esemény, k a kedvező elemi esetek száma, n az összes (lehetséges) elemi este száma.

Vagy:

$P(A)=1-P(B)=1-\frac{l}{n}$
Ahol B a számunkra nem kedvező esemény, a nem kedvező elemi esetek száma. Tehát a jó esetek valószínűsége egyenlő azzal, hogy 1-ből kivonom a rossz (nem kedvező) esetek valószínűségét.

Első megoldás

A kedvező esetek számát és az összes eset számát is meg kell határoznunk.

A következő esetek kedvezőek: két, három, négy vagy öt számunkat kihúzzák. Írjuk fel ezeket egyesével!

Ha két számunk is a kihúzott számok között van, akkor a saját öt számunkból kettő megfelelő, míg a másik három számunk abban a 85 számban van, amelyek nem a kihúzott számok, vagyis:

$(_{2}^{5})\textrm{}\cdot(_{3}^{85})\textrm{}$

Ha három számunk is a kihúzott számok között van, akkor a saját öt számunkból három megfelelő, míg a másik két számunk abban a 85 számban van, amelyek nem a kihúzott számok, vagyis:

$(_{3}^{5})\textrm{}\cdot(_{2}^{85})\textrm{}$

Ha négy számunk is a kihúzott számok között van, akkor a saját öt számunkból négy megfelelő, míg a maradék egy számunk abban a 85 számban van, amelyek nem a kihúzott számok, vagyis:

$(_{4}^{5})\textrm{}\cdot(_{1}^{85})\textrm{}$

Ha öt számunk is a kihúzott számok között van, akkor a saját öt számunkból mindegyik megfelelő, míg nincs számunk abban a 85 számban van, amelyek nem a kihúzott számok, vagyis:

$(_{5}^{5})\textrm{}\cdot(_{0}^{85})\textrm{}$

És azt is tudjuk, hogy az összes eset számát a következőképpen tudjuk felírni:

$(_{5}^{90})\textrm{}$

Rakjuk tehát össze a valószínűséget: jó (kedvező) elemi esetek száma/összes lehetséges elemi eset száma.

$\frac{(_{2}^{5})\cdot(_{3}^{85})+(_{3}^{5})\cdot(_{2}^{85})+(_{4}^{5})\cdot(_{1}^{85})+(_{5}^{5})\cdot(_{0}^{85})}{(_{5}^{90})}$

Számológép használatával egyszerűen megkapjuk a végeredményt: 0,0233.

Második megoldás

Most a rossz esetek számát írjuk fel: nulla vagy egy számunkat húzzák ki.

Ha nincs számunk, ami a kihúzott számok között lenne, akkor a saját öt számunkból egy sem megfelelő, tehát a mi számaink abban a 85 számban van, amelyek nem a kihúzott számok, vagyis:

${(_{0}^{5})\cdot(_{5}^{85})$

Ha egy számunk van a kihúzott számok között , akkor a saját öt számunkból egy megfelelő, tehát négy számunk abban a 85 számban van, amelyek nem a kihúzott számok, vagyis:

${(_{1}^{5})\cdot(_{4}^{85})$

Tegyük össze a valószínűséget: 1-ből kivonjuk a rossz (nem kedvező) elemi esetek számát/összes (lehetséges) elemi esetek számát.

$1-\frac{(_{0}^{5})\cdot(_{5}^{85})+(_{1}^{5})\cdot(_{4}^{85})}{(_{5}^{90})}$

Itt is a megoldás 0,0233.

Kérdés esetén keressetek bármelyik elérhetőségünkön! 🙂