A legnagyobb közös osztó egy matematikai alapfogalom, melyet minden diáknak fontos ismernie. A korábbi érettségi feladatsorokban is előfordultak olyan példák, melyekben szükség volt a legnagyobb közös osztó fogalmának ismerete a feladat megoldásához.
Lássuk akkor, hogy mi is a legnagyobb közös osztó fogalma “szaknyelven”: két pozitív egész szám esetén a közös osztók közül a legnagyobbat a két szám legnagyobb közös osztójának nevezzük. Tehát, ha van két szám előttem, akkor úgy tudom meghatározni a legnagyobb közös osztójukat, hogy megkeresem a két szám osztóit, majd kiválasztom azt, ami mindkettőben osztható és egyben a legnagyobb is. Ugye egészen egyszerűnek hangzik? 🙂 Az is, azonban néhány kiegészítő dolgot mindenképpen tisztáznunk kell. Például, mi van akkor, ha a 2540 és a 3160 legnagyobb közös osztóját kell megtalálnom? Egészen hosszú ideig tartana megkeresni az összes osztót, ha nem ismernénk erre egy egyszerű megoldást, méghozzá egy szám prímtényezőkre való bontását. És arról még nem is esett szó, hogy mi van, ha több, mint két szám legnagyobb közös osztóját kell megkeresnünk…
Prímtényezőkre bontás
Mit is jelent az, hogy prím? Nagyon egyszerű ez a fogalom: olyan természetes számok, melyek csak eggyel és önmagukkal oszthatóak. Amikor prímtényezőkre bontunk egy számot, akkor prímszámokra bontjuk szét, például:
Bevett szokás, hogy függőleges vonallal elválasztva leírjuk az osztókat, a legkisebbtől a legnagyobb felé haladva egészen addig, amíg egyet kapunk az utolsó osztás során. Így a 24 prímtényezőkre felbontva a következőképpen néz ki: .
Legnagyobb közös osztó meghatározása
Keressük meg az alábbi két szám legnagyobb közös osztóját: (288;3024). Amikor számok legnagyobb közös osztóját keressük, az adott számokat zárójelben felírjuk – így jelezve, hogy mit szeretnénk meghatározni. Első lépésként a számokat prímtényezőkre bontjuk:
Így a számokat a következőképpen tudjuk felírni:
Ez az alak segít abban nekünk, hogy meghatározzuk a legnagyobb közös osztót. Úgy tudjuk kiválasztani/meghatározni a legnagyobb közös osztót, hogy először megkeressük azokat a prímtényezőket, amelyek mindkét számban megtalálhatóak, a fenti esetben a 2 és a 3 (a 7 csak az egyik számnak az osztója, ezért azzal nem foglalkozunk). Majd ezeknek a legkisebb hatványú előfordulását vesszük figyelembe. A 2 az ötödik és a negyedik hatványon is szerepel, tehát a negyedik hatványt vesszük figyelembe, mert az a kisebb, a 3 a második és a harmadik hatványon is szerepel, így a második hatványt vesszük figyelembe, mert az a kisebb, tehát a legnagyobb közös osztó:
Ha kettőnél több szám esetében kell meghatároznunk a legnagyobb közös osztót, akkor is a fenti módszerrel járunk el.
Ha a számok legnagyobb közös osztója 1, akkor relatív prímeknek nevezzük őket. Például a 14 és a 15 összetett számok, ám nincs közös prímtényezőjük.
Határozd meg a következő számok legnagyobb közös osztóját gyakorlásként!
(12;54)
(24;30)
(252;270)
(360;980)