A Random matek példák érettségire sorozatunk következő részben a 2010. évi tavaszi érettségi 14. feladatát fogjuk megoldani. A feladat megoldásához mindenképpen érdemes használni a függvénytáblázatot, hiszen minden fontos képlet megtalálható benne, amire szükségünk van.
Érdemes a feladat megoldása előtt egy koordinátarendszert felskiccelni, hogy lássuk, miről is van szó.
A feladat a.) részében az AB oldal oldalegyenesét kell felírnunk. Ehhez nyissuk ki a függvénytáblázatot a koordinátageometriát taglaló résznél. Itt meg fogjuk találni azt a részt, ami segít nekünk ennek az egyenesnek a felírásában.
Ha adott és pontok, akkor a következő egyenletet tudjuk felírni:
Helyettesítsünk be, ha A(0;0) pontot ponttal és B(-2;4) pontot ponttal azonosítjuk. Ekkor az egyenletünk a következő lesz:
A feladat b.) részében az ABC háromszög legnagyobb szögét kell meghatároznunk. Amit mindenképpen tudnunk kell a feladat megoldásához, az az, hogy egy háromszög legnagyobb szöge mindig a leghosszabb oldallal szemben van! Na de melyik a leghosszabb oldal? Számoljuk ki az összes oldalt és megtudjuk! Ha szemfülesek vagyunk, láthatjuk, hogy a c.) részhez is szükségünk lesz az oldalak hosszára, így nem számolunk feleslegesen.
Két pont közötti egyenes hosszát úgy számoljuk ki, hogy a pontok megfelelő koordinátáit kivonjuk egymásból, a kapott eredményeket négyzetre emeljük, összeadjuk, majd gyököt vonunk az eredményből. Tulajdonképpen a Pitagorasz-tételt alkalmazzuk.
Vagyis:
Ez a képlet szintén szerepel a függvénytáblázatban, bármelyik két pont közötti egyenes hosszának a meghatározására alkalmas. Nézzük az oldalhosszakat a képlet alkalmazása után:
Az eredményekből látszik, hogy az AC oldal a leghosszabb, tehát az ezzel szemben lévő szög a legnagyobb.
A szög kiszámolására több megoldást is alkalmazhatunk. Mi most a koszinusz-tételt fogjuk felhasználni a megoldáshoz. A tétel így szól: bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.
Mivel a háromszögünk minden oldalát ismerjük, így a két oldal által közbezárt szög az AC oldallal szemközti szög legyen, vagyis a háromszög legnagyobb szöge, amit mi keresünk. Így a szög melletti oldalak az AB és BC oldalak lesznek.
A feladat c.) pontjában a háromszög területét kell kiszámolnunk, ami a fenti számítások után már gyerekjáték. 🙂 Felcsapjuk a függvénytáblázatot a geometria témakörénél, majd kikeressük a háromszög területének kiszámítását, ha fejből nem megy.
Használjuk fel a korábban kiszámolt szöget! A háromszög területét kiszámíthatjuk úgy is, hogy két oldal szorzatát megszorozzuk a közbezárt szög szinuszával, majd elosztjuk kettővel.
Ez a feladat 12 pontos volt és szinte minden segítséget megkaptunk a függvénytáblázattól a megoldáshoz.
Jövünk vissza! 🙂