A második részben folytatjuk a szögfüggvény fogalmának kibővítését – elsősorban a szinusz és koszinusz függvényekét. A korábbi részben bemutattuk, mi is tulajdonképpen a szögfüggvény, hol tudjuk alkalmazni és hogyan tudjuk kiszámolni az értékét. Ahhoz azonban, hogy teljes legyen a kép, érdemes megismerkedni az egységkör fogalmával. Aki megérti, mi is ez, hogyan kell használni, annak nem lesz problémája ezzel a témakörrel.
Egységkör
Az egységkör tulajdonképpen egy koordináta-rendszerből és egy teljes körből áll. A koordináta-rendszer vízszintes tengelyén a cos értékeket jelenítjük meg, míg a függőleges tengelyen a sin értékeket. A teljes körön pedig a szögeket jelenítjük meg 0°-tól 360°-ig. A kör sugara egységnyi (1) hosszúságú, mert a sin és cos értékek is (-1) és 1 között lehetnek. Arra szolgál az egységkör, hogy könnyebben megértsétek ezt a témakört, illetve feladatokat tudjatok megoldani a segítségével: tulajdonképpen a szögek függvényében ábrázoljuk a szögfüggvény-értékeket vagy a szögfüggvény-érték függvényében a szögeket. Most figyeljük meg alaposan a következő ábrát és próbáljuk értelmezni!
A következő ábrán be van jelölve egy szög példaként, illetve az is, hogyan kel leolvasni az egységkörről a sin és cos értékeit. A szög pirossal van jelölve, a sin-érték zölddel, míg a cos-érték kékkel. Egyszerűen a szög bejelölése után csak le kell vetítenünk egy egyenest mind a cos-, mind a sin-tengelyre és megkapjuk az értékeket. Fontos azonban megemlíteni, hogy pontos értékeket nem tudunk leolvasni, csak körülbelülieket, illetve az előjelet tudjuk megállapítani.
Látható a következő ábrán, hogy egy adott sin és cos értékhez két szög is tartozik (azonban ez nem mindig van így, lásd: Érdekes feladatok). Ha ezeknek a szögeknek a sin és cos értékeire vagyunk kíváncsiak, akkor csak be kell ütnünk a számológépbe őket és ugyanazokat az értékpárokat fogjuk kapni. Ezekből az értékekből pedig két azonosság is következik, melyek a sin és cos szögfüggvényre vonatkoznak:
Itt a természetesen 180°-ot jelent. Példaként álljon itt a következő két felismerés (az ábrán lévő szögekkel):
- sin(30°)=0,5 és sin(180°-30°)=sin(150°)=0,5
- cos(60°)=0,5 és cos(360°-60°)=sin(300°)=0,5
Tehát az egységkör arra szolgál, hogy egy adott egyenlet, szögfüggvény minden lehetséges megoldását megadja!
Érdekes feladatok:
- Jelöld be a 90° sin és cos értékét!
- Jelöld be a 180° sin és cos értékét!
- Határozd meg, hogy 40° sin értéke milyen előjelű!
- Határozd meg, hogy a 195° cos értéke milyen előjelű!
A feladatok megoldásához használd az egységkört!
A következő cikkünkben a tangens és kotangens szögfüggvényekkel fogunk megismerkedni!