A prím (vagy törzsszám) fogalmát valószínű, hogy már az egyiptomi és mezopotámiai kultúrák is ismerték. Tudomásunk szerint a számok és közöttük a prímszámok első tanulmányozói a püthagoreusok voltak (i.e. 500-350). A törzsszámokra először Eukleidész jegyzett le pontos meghatározást: olyan számok ezek, melyek “csak az egységgel” mérhetők.
A matematika, elsősorban pedig a számelmélet területén prímszámnak, törzsszámnak vagy röviden prímnek nevezzük azokat a természetes számokat, amelyeknek pontosan két osztójuk van a természetes számok között: 1 és önmaguk. A prímek a természetes számok halmazának felbonthatatlan elemei.
A 0 nem prímszám (hiszen végtelen sok osztója van). Az 1-et – bár „felbonthatatlannak” tekinthetnénk- mégsem tekintjük prímszámnak (egy osztója van, ez pedig önmaga). A legelső (legkisebb) pozitív prímszámok a következők: 2, 3, 5, 7, stb…
A prímszámok alkalmazása:
A számelmélet alaptétele szerint minden összetett szám felírható prímszámok szorzataként (kanonikus alak). Ezt a műveletet törzstényezős felbontásnak nevezzük. Példa:
A törzstényezős felbontást alkalmazzuk olyan feladatokban, ahol két vagy több szám legkisebb közös többszörösét vagy legnagyobb közös osztóját keressük. Erről a két fogalomról a későbbiekben is fogunk írni.
Hány prímszám van?
Eukleidész azt is bebizonyította, hogy végtelen sok prímszám van. Ennek bizonyítása a következő: tegyük fel, hogy a prímszámok darabszáma véges. Legyen ez a szám m. Szorozzuk össze mind az m darab prímet, majd adjunk hozzá egyet. A kapott szám egyik prímmel sem osztható a halmazunkból, hiszen bármelyikkel osztva egyes maradékot kapunk, az egy pedig egyik prímmel sem osztható. A szorzat tehát vagy maga is prím, vagy osztható egy olyan számmal, ami nincs benne a fenti véges halmazban. (Ez azért igaz mindig, mert minden 1-nél nagyobb egésznek van prímosztója.) Mindkét esetben legalább m+1 darab prímszám létezik, ami ellentmond annak a kezdeti feltételezésnek, hogy m darab prímszám van.
Forrás: Wikipédia