A Pitagorasz-tétel eredete

A Pitagorasz-tétel vagy Pitagorasz tétele az euklideszi geometria egyik alapvető állítása. Felfedezését és első bizonyítását az i. e. 6. században élt matematikusnak és filozófusnak, Püthagorasznak tulajdonítják, pedig indiai, görög, kínai és babilóniai matematikusok már ismerték a tételt jóval Püthagorasz előtt, és a kínaiak bizonyítást is adtak rá.

Szamoszi Püthagorasz ión származású filozófus és matematikus volt, a püPythagoras_Bust_Vatican_Museum_(cropped)thagoreus filozófiai iskola megalapítója és létrehozója. Tanítványaival máig ható, fontos eredményeket ért el a csillagászatban, a matematikában és a zeneelméletben is.

„A számok atyja” néven is emlegették, mert a püthagoreusok számára a legfontosabb (és tulajdonképp az egyetlen) tudomány a matematika volt: azt tanították, hogy minden dolog kulcsa a számokban rejtőzik. Életét kevéssé ismerjük, bár már életében legendák és mítoszok övezték. Ezek terjesztéséhez a püthagoreusok is hozzájárultak, mivel afféle félistenként tisztelték mesterüket.

A tétel

Bármely derékszögű háromszög leghosszabb oldalának (átfogójának) négyzete megegyezik (egyenlő) a másik két oldal (a befogók) négyzetösszegével. Tehát: ha egy háromszög derékszögű, akkor a leghosszabb oldalára emelt négyzet területe a másik két oldalra emelt négyzetek területének összegével egyenlő.

A szokásos jelölésekkel (c az átfogó, a és b a befogók):

A tétel bizonyítása

A tétel bizonyításában felhasználjuk azt az euklideszi axiómát, hogy “ha egyenlőkből egyenlőket veszünk el, akkor a maradékok is egyenlők”.

Készítsünk két darab (b+a) oldalú négyzetet az alábbi módon, ahol “a” és “b” a derékszögű háromszög befogói. A (b+a) oldalú négyzetek területe nyilvánvalóan egyenlő.
2000px-Pythagorean_proof.svg

A bal oldali négyzetben kaptunk négy darab, az eredeti háromszöggel egybevágó derékszögű háromszöget, és egy “a” illetve “b” oldalú négyzetet. Ezek területe  a^{2} és  b^{2} területegység.

A jobb oldali négyzetben is megtalálható ez a négy darab, az eredeti háromszöggel egybevágó derékszögű háromszög, amelynek átfogója “ c“. Így tehát a középső síkidom minden oldala “ c“.

Be kell még látni, hogy csúcsainál derékszög van (a négyszög mindegyik oldala “ c” hosszúságú). Tehát a síkidom négyzet, területe pedig  c ^{2}.

Ha mindkét négyzetből elvesszük a négy darab derékszögű háromszöget, a maradékok területe is egyenlő, azaz:

Forrás: Wikipédia